Сосредоточенная нагрузка на балку


Приведение сосредоточенной нагрузки к эквивалентной равномерно распределенной

Расстояние между сосредоточенными нагрузками одинаковое, при этом расстояние от начала пролета до первой сосредоточенной нагрузки равно расстоянию между сосредоточенными нагрузками. В этом случае сосредоточенные нагрузки также попадают на начало и на конец пролета, но при этом вызывают только увеличение опорной реакции, на значение изгибающих моментов и на прогиб крайние сосредоточенные нагрузки никак не влияют, а потому при расчетах несущей способности конструкции не учитываются. Рассмотрим это на примере балок перекрытия опирающихся на перемычку. Кирпичная кладка, которая может быть между перемычкой и балками перекрытия, и создавать при этом равномерно распределенную нагрузку, для простоты восприятия не показана.

Рисунок 1. Приведение сосредоточенных нагрузок к эквивалентной равномерно распределенной нагрузке.

Как видно из рисунка 1, определяющим является изгибающий момент, который используется при расчетах конструкций на прочность. Таким образом, чтобы равномерно распределенная нагрузка создавала такой же изгибающий момент, как и сосредоточенная нагрузка, ее нужно умножить на соответствующий коэффициент перехода (коэффициент эквивалентности). А определяется этот коэффициент из условий равенства моментов. Думаю, рисунок 1 это очень хорошо иллюстрирует. А еще, анализируя полученные зависимости, можно вывести общую формулу для определения коэффициента перехода. Так, если количество приложенных сосредоточенных нагрузок является нечетным, т.е. одна из сосредоточенных нагрузок обязательно попадает на середину пролета, то для определения коэффициента эквивалентности можно использовать формулу:

γ = n/(n - 1) (305.1.1)

где n - количество пролетов между сосредоточенными нагрузками.

При этом эквивалентная равномерно распределенная нагрузка будет равна:

qэкв = γ(n-1)Q/l (305.1.2)

где (n-1) - количество сосредоточенных нагрузок.

Впрочем, иногда удобнее производить расчеты, исходя из количества сосредоточенных нагрузок. Если это количество выразить переменной m, то тогда

γ = (m +1)/m (305.1.3)

где m - количество сосредоточенных нагрузок.

При этом эквивалентная равномерно распределенная нагрузка будет равна:

qэкв = γmQ/l (305.1.4)

Когда количество сосредоточенных нагрузок является четным, т.е. ни одна из сосредоточенных нагрузок не попадает на середину пролета, то значение коэффициента можно принимать, как для следующего нечетного значения количества сосредоточенных нагрузок. В целом при соблюдении указанных условий загружения можно принимать следующие коэффициенты перехода:

γ = 2 - если на рассматриваемую конструкцию, например, балку попадает только одна сосредоточенная нагрузка посредине перемычки. 

γ = 1.33 - для балки, на которую действуют 2 или 3 сосредоточенные нагрузки;

γ = 1.2 - для балки, на которую действуют 4 или 5 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.142 - для балки, на которую действуют 6 или 7 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.11 - для балки, на которую действуют 8 или 9 сосредоточенных нагрузок.

2 вариант

Расстояние между сосредоточенными нагрузками одинаковое, при этом расстояние от начала пролета до первой сосредоточенной нагрузки равно половине расстояния между сосредоточенными нагрузками. В этом случае сосредоточенные нагрузки не попадают на начало и на конец пролета.

Рисунок 2.  Значения коэффициентов перехода при 2 варианте приложения сосредоточенных нагрузок.

Как видно из рисунка 2, при таком варианте загружения значение коэффициента перехода будет значительно меньше. Так, например, при четном количестве сосредоточенных нагрузок, коэффициент перехода вообще можно принимать равным единице. При нечетном количестве сосредоточенных нагрузок для определения коэффициента эквивалентности можно использовать формулу:

γ = (m +7)/(m +6) (305.2.1)

где m - количество сосредоточенных нагрузок.

При этом эквивалентная равномерно распределенная нагрузка все также будет равна:

qэкв = γmQ/l (305.1.4)

В целом при соблюдении указанных условий загружения можно принимать следующие коэффициенты перехода:

γ = 2 - если на рассматриваемую конструкцию, например, балку попадает только одна сосредоточенная нагрузка посредине перемычки, а попадают ли балки перекрытия на начало или конец пролета или расположены сколь угодно далеко от начала и конца пролета, в данном случае значения не имеет. А значение это имеет при определении сосредоточенной нагрузки.  

γ = 1 - если на рассматриваемую конструкцию, действует четное количество нагрузок. 

γ = 1.11 - для балки, на которую действуют 3 сосредоточенные нагрузки;

γ = 1.091 - для балки, на которую действуют 5 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.076 - для балки, на которую действуют 7 сосредоточенных нагрузок;

γ = 1.067 - для балки, на которую действуют 9 сосредоточенных нагрузок.

Не смотря на некоторую заковыристость определения, коэффициенты эквивалентности очень просты и удобны. Так как при расчетах очень часто известна распределенная нагрузка, действующая на квадратный или погонный метр, то чтобы не переводить распределенную нагрузку сначала в сосредоточенную, а потом снова в эквивалентную распределенную, достаточно просто умножить значение распределенной нагрузки на соответствующий коэффициент. Например, на перекрытие будет действовать нормативная распределенная нагрузка 400 кг/м2, при этом собственный вес перекрытия составит еще 300 кг/м2. Тогда при длине балок перекрытия 6 м на перемычку могла бы действовать равномерно распределенная нагрузка q = 6(400 + 300)/2 = 2100 кг/м. А дальше, если будет только одна балка перекрытия посредине пролета, то γ = 2, а

qэкв = γq = 2q (305.2.2)

И все.

Если ни одно из двух вышеприведенных условий не соблюдается, то использовать коэффициенты перехода в чистом виде нельзя, нужно добавить еще пару дополнительных коэффициентов, учитывающих расстояние до балок, не попадающих на начало и конец пролета перемычки, а также возможную несимметричность приложения сосредоточенных нагрузок. Вывести такие коэффициенты в принципе можно, однако в любом случае они будут понижающими во всех случаях, если рассматривать 1 вариант загружения и в 50% случаев, если рассматривать 2 вариант загружения, т.е. значения таких коэффициентов будут < 1. А потому для упрощения расчетов, а заодно и для большего запаса по прочности рассчитываемой конструкции вполне хватит коэффициентов, приведенных при первых двух вариантах загружения. 

doctorlom.com

Расчет балки на прогиб

вернуться в раздел РАСЧЕТЫ КМ И КЖ

РАСЧЕТЫ БАЛОК

Здесь представлены формулы расчета для нахождения значений изгибающих моментов и прогибов для различных балок.

Однопролетные балки на двух шарнирных опорах
1 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузке Смотреть расчет
2 Расчет балки на двух шарнирных опорах при двух сосредоточенных нагрузках Смотреть расчет
3 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
4 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
5 Расчет балки на двух шарнирных опорах при действии изгибающего момента Смотреть расчет
Балки с жестким защемлением на двух опорах
6 Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной сосредоточенной нагрузке Смотреть расчет
7 Расчет балки с жестким защемлением на опорах при двух сосредоточенных нагрузках Смотреть расчет
8 Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
9 Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
10 Расчет балки с жестким защемлением на опорах при действии изгибающего момента Смотреть расчет
Балки с жестким защемлением на одной опоре (консольные)
11 Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной сосредоточенной нагрузке Смотреть расчет
12 Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной равномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
13 Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной неравномерно-распределенной нагрузке Смотреть расчет
14 Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при действии изгибающего момента Смотреть расчет
Балки двухпролетные
15 Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной сосредоточенной нагрузке Смотреть
16 Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при двух сосредоточенных нагрузках Смотреть
17 Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной равномерно-распределенной нагрузке Смотреть
18 Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке Смотреть
19 Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке Смотреть

saitinpro.ru

Техническая механика



Как мы уже знаем, любая сила характеризуется тремя свойствами: модулем (скалярной размерностью), вектором (направлением в пространстве) и точкой приложения. Для того, чтобы иметь полное представление о характере и последствиях воздействия любой силы на тело или элемент конструкции, необходимо знать - какова величина этой силы, куда она направлена и к какой точке приложена. В действительности сила не может быть приложена к точке, поскольку точка - безразмерная, бесконечно малая единица пространства, поэтому фактически силы воздействуют на очень малую площадку, размерами которой пренебрегают. Такие силы (приложенные к ничтожно малой площадке тела) называют сосредоточенными.

В реальности часто встречаются силы, приложенные не к точке, а к объему или поверхности тела, например сила тяжести, давления ветра, воды и т. п., т. е. нагрузку воспринимает не бесконечно малая площадка, а значительная площадь или объем тела. Такие силы называют распределенными. Примером распределенной силы (обычно употребляют выражение «распределенная нагрузка») может послужить выпавший на крышу дома снег. Сила тяжести снежного покрова давит на всю поверхность крыши, нагружая одинаково каждую единицу ее площади, а не какую-либо точку.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью, обычно обозначаемой латинской буквой q. Интенсивность - это сила, приходящаяся на единицу длины (или площади) нагруженного участка.

Интенсивность в системе единиц СИ выражается в ньютонах на метр (Н/м) или, соответственно, в ньютонах на квадратный метр (для нагрузки, действующей на площадь).

Интенсивность воздействия силы на площадь характеризует такие физические понятия, как давление и напряжение. В плоской системе рассматривается интенсивность действия силы на единицу длины.



Распределенная нагрузка, имеющая постоянную интенсивность по всей длине участка называется равномерно распределенной (см. рисунок 1).

При решении задач статики распределенную нагрузку заменяют ее равнодействующей. Модуль равнодействующей равномерно распределенной нагрузки равен Q = ql (см. рисунок). Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки Q прикладывается в середине отрезка АВ.

Распределенная нагрузка, имеющая переменную интенсивность, называется неравномерно распределенной (рис. 2). Примером такой нагрузки может служить меняющееся по высоте давление воды на плотину или снег, лежащий на крыше неровным слоем.

Определение точки С приложения равнодействующей неравномерно распределенной нагрузки производится путем геометрических расчетов и построений. Равнодействующая сила Q при таких нагрузках равна площади фигуры, охватываемой эпюрой нагрузки, а точка С приложения равнодействующей расположена в центре тяжести этой фигуры.

Нагрузки, распределенные по поверхности (по площади), характеризуются давлением, т. е. силой, приходящейся на единицу площади. В системе единиц СИ давление измеряется в Паскалях (Па) или ньютонах на квадратный метр (Н/м2).

***

Пример решения задачи с распределенной нагрузкой

Задача: Балка находится в равновесии под действием сосредоточенной силы F = 100 Н и равномерно распределенной нагрузки q = 60 Н/м (см. схему 3). Необходимо определить реакцию RВ опоры В.

Решение. Поскольку по условию задачи необходимо определить реакцию опоры В, составим уравнение моментов сил относительно опоры А, учитывая, что равномерно распределенную нагрузку можно заменить сосредоточенной силой: Q = ql,    где l = (10 - 5) метров - часть балки, к которой приложена распределенная нагрузка. Точка приложения сосредоточенной силы Q расположена в середине той части балки, к которой приложена распределенная нагрузка; плечо этой силы относительно опоры А будет равно: h = (10 - 5)/2 = 2,5 м. Cоставляем уравнение моментов сил относительно опоры А из условия, что балка находится в состоянии равновесия (уравнение равновесия).

Учитываем знаки:

  • сила RВ создает относительно точки А положительный момент, плечо которого равно 10м;
  • сила F создает относительно точки А отрицательный момент, плечо которого равно 5 м;
  • распределенная нагрузка q создает (посредством силы Q и плеча h) относительно точки А отрицательный момент.

Получаем уравнение равновесия балки, в котором лишь одна неизвестная величина (RВ):

ΣM = 10RВ - qlh - 5F = 10RВ - q(10-5)(10-5)/2 - 5F = 0, откуда находим искомую реакцию опоры RВ:

RВ = {q(10-5)(10-5)/2 + 5F}/10 = 125 Н

Задача решена.

***

Условия равновесия плоской системы сходящихся сил


Главная страница
Специальности
Учебные дисциплины
Олимпиады и тесты

k-a-t.ru

Часть II. Определение допускаемой нагрузки на балку

Р е ш е н и е

Определяем наибольшую допускаемую нагрузку. Для этого сначала строим эпюру моментов (рис. 3.10) и находим значение изгибающего момента в опасном сечении, . Балку располагаем таким образом, чтобы нагрузка была приложена в плоскостиХOY.

Рис. 3.10.

Величину Рможно определить из условия прочности по нормальным напряжениям

; .

отсюда

кН,

где – допускаемое напряжение;Wz – момент сопротивления (ч. I, п. 4.1).

Расчетно-графическая работа № 4

РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК

Общие указания

Задание состоит из двух частей. В первой части необходимо рассчитать консольную балку и подобрать из условия прочности сечение в виде круга и прямоугольника. Во второй части предлагается рассчитать двухопорную шарнирную балку, из условия прочности подобрать сечение в виде двутавра и сделать полную проверку его прочности. Перед выполнением работы необходимо вспомнить раздел: «Плоский изгиб прямого бруса». Далее приведены основные теоретические сведения.

Основные теоретические сведения

Для того чтобы определить внутренние силовые факторы в произвольном сечении, необходимо мысленно рассечь балку (рис. 4.1,а) и рассмотреть равновесие одной из ее частей (рис. 4.1,б).

a б

Рис. 4.1.

При плоском поперечном изгибе вся нагрузка расположена в главной плоскости хOу, поэтому она не дает проекций сил на осиzих,и моментов относительно осейхиу. Следовательно, отличными от нуля остаются только величиныQ yиMz. Итак, при изгибе в сечении балки действуют два внутренних силовых фактора:поперечная силаQyиизгибающий моментМz.

Поперечная сила Qy равна сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, на осьу, перпендикулярную оси балки. Изгибающий моментМzравен сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести этого сечения. Правило знаков установлено следующее: поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть вырезанный из балки элемент бесконечно малой длины по ходу часовой стрелки; изгибающий момент считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон (рис. 4.2).

Рис. 4.2.

Примечание: Необходимо отметить, что правило знаков для Q и М не совпадает с правилом знаков для уравнений статики.

Порядок построения эпюр Qy и мz

  1. Составляются уравнения статики, из которых определяются величины и направления опорных реакций.

  2. Балка разбивается на участки. Участок – отрезок стержня, в пределах которого нагрузка монотонна, а площадь поперечного сечения постоянна.

  3. Для каждого участка составляются аналитические выражения поперечных сил Qy(х) и изгибающихся моментов Мz(х).

  4. По полученным выражениям вычисляются ординаты эпюр на границах участков.

  5. Определяются сечения, в которых действуют моменты и вычисляются значения этих моментов.

  6. По ординатам и формулам строятся эпюры. Анализ дифференциальных зависимостей между ипозволяет установить некоторые особенности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

  7. Участок балки – это часть её, в пределах которой функции Qy и Mz непрерывны. Участок ограничен сосредоточенными силами или моментами, а также началом и концом распределённой нагрузки.

  8. На участках, где нет распределённой нагрузки, поперечная сила Qy постоянна, а изгибающий момент Мz меняется по линейному закону.

  9. На участках, где к балке приложена равномерно распределённая нагрузка q, поперечная сила Qy меняется по линейному закону, а изгибающий момент Мz – по закону квадратной параболы.

  10. Изгибающий момент достигает максимума или минимума в сечениях, в которых график Qy пересекает нулевую (базисную) линию. При этом выпуклость параболы обращена в сторону, противоположную направлению действия нагрузки q –правило «зонтика» (рис. 4.3).

  11. На участках, где Qy = 0, Мz = const – имеет место чистый изгиб.

Рис. 4.3.

  1. При движении по балке слева направо на участках, где Qy > 0, изгибающий момент Мz возрастает; на участках, где Qy < 0, Mz – убывает.

  2. В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил, а на эпюре Мz будут переломы, причем остриё перелома направлено против действия силы.

  3. В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре М будут скачки на величину этих моментов (на эпюре Q изменений не будет). Направление скачка зависит от направления внешнего момента.

studfiles.net


Смотрите также